- Условия Коши — Римана
-
Условия Коши — Римана
Условия Коши — Римана, или условия д’Аламбера — Эйлера — условия на вещественную u = u(x,y) и мнимую v = v(x,y) части функции комплексного переменного , обеспечивающие бесконечную непрерывную дифференцируемость f(z) как функции комплексного переменного.
Содержание
Теорема
Для того чтобы функция w = f(z), определённая в некоторой области D комплексной плоскости, была дифференцируема в точке z0 = x0 + iy0 как функция комплексного переменного z, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части u и v были дифференцируемы в точке (x0,y0) как функции вещественных переменных x и y и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:
- ;
- ;
Если условия Коши — Римана выполнены, то производная f'(z) представима в любой из следующих форм:
Доказательство
Следствия
- Выполнение условий Коши — Римана на открытом подмножестве является необходимым условием аналитичности функции.
- Если, кроме того, частные производные непрерывны, то функция является аналитической.
История
Эти условия впервые появились в работе д'Аламбера (1752 г.). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 г., условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций. Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 г. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 г.
Литература
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
- Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
- Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
- Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Wikimedia Foundation. 2010.